☆　ゲーデルの不完全性定理　☆

井出　薫

　『命題Ｑ「Ｑは証明不可能」』このような命題Ｑが数論の体系に存在すること、これが有名なゲーデルの不完全性定理の骨子だ。

　Ｑを証明することも、¬Ｑも証明することはできない。（¬は否定を意味する）このことは簡単に証明できる。

　Ｑが証明できたとすると、「Ｑは証明できない」という命題Ｑの内容と矛盾する。¬Ｑが証明できたとすると、¬Ｑは「Ｑは証明可能」であるから、Ｑと¬Ｑの両方が証明できることになる。しかし、（ここでは省略するが）論理学の規則を使うと、任意の命題Ｐとその否定命題¬Ｐの両方が証明できるような体系は矛盾するということを簡単に示すことができる。だから、数論の体系に矛盾がないと仮定すれば、背理法により¬Ｑは証明できない。（矛盾した数論体系は使い物にならない。たとえば、矛盾した体系では１は奇数であり偶数でもあることになる。）

　こうして、Ｑも¬Ｑも証明できないことが分かる。そして、ここが重要なことは、命題Ｑは、矛盾のない数論の体系において数学的に明確に定義された命題であり、恣意的に作りだしたものではないということだ。命題Ｑは一見したところ、「私の言っていることは嘘である」という有名な嘘つきのパラドックスに似ているが、嘘つきのパラドックスのような矛盾した命題ではない。「証明可能」という概念は数学的に厳密な定式化が可能で、それゆえ、命題Ｑは数学的に厳密な命題となる。

　従って、矛盾のない数論の体系には、肯定も否定も証明できない有意味な命題Ｑが存在することになる。この難点を回避しようとして、命題Ｑか命題¬Ｑのどちらかを公理に追加しても、同じように肯定も否定も証明できない命題を作り出すことができてしまうので、この難点はけっして解消されない。

　さらに、Ｑは証明されないのだから、『命題Ｑ「Ｑは証明不可能」』は正しい。つまり、矛盾のない数論の体系では正しいにも拘わらず証明できない命題があるということになる。

　これは数論体系だけではなく全数学に当てはまることで、どんな数学体系でも常に肯定も否定もできない有意味で内容的には正しい命題が存在する。

　これは実に重大な事態だと言えよう。物理学や天文学は言うに及ばず、あらゆる学問は数学の絶対的な正しさに依存している。もし数学が不確かな根拠を欠く学問であるとしたら、私たちの前にはおよそ信頼に足る学問は存在しないことになってしまう。これは学問の世界だけに限られたことではなく、実生活においても、私たちは安心して枕を高くして眠ることも、外を歩くこともできなくなる。況や飛行機に乗るなどということは怖くて絶対にできなくなるだろう。数学に基づき計算して設計構築された建物や交通手段、通信手段が無数に私たちの身のまわりに存在する。数学が信頼できなければ、それがいつ予想に反した動きをするか分からない。建物はいつ倒壊するか分からず、飛行機はいつ墜落するとも知れず、コンピュータの予測は信用がおけないということになり、世界はパニックに陥る。ゲーデルの不完全性定理が世紀の大発見と言われる理由はこういうところにある。

　だが幸運なことに私たちは怯える必要はない。証明ができないということは偽であるということを意味しない。ゲーデルの不完全性定理には、「肯定も否定も証明できない意味のある命題が存在する」という第一定理の他に、「数論の体系は、体系の内部で自分自身が無矛盾であることを証明できない」という第二定理がある。だが後者はある意味当然の結果だと言えよう。自分自身の無矛盾はより高い段階から見ない限り証明できないというのは当たり前に思えるだろう。実際、体系の枠組みを広げることで数論体系の無矛盾は証明できる。−ただし、枠組みを拡張した体系そのものの無矛盾は、同じように、その体系の中では証明できない。だから絶対確実な証明はいつになってもできない。−

　ゲーデルの不完全定理は、証明可能と真とが同等ではないことを示している。しかし、体系が無矛盾ならば、証明可能なことが真であることに変わりはない。証明可能で、かつ、偽であるということはない。つまり、数学が導く定理はすべて真だと信頼してよいわけだ。設計や建築に計算ミスや手抜きがない限り、突然理由もなく家が倒壊することはない。−ただし、それは数学の厳密性だけではなく、物理学の普遍性も成り立つとした場合に限られる。現実の世界では、幸いにしてどちらも成り立つようだ。−だから、私たちは枕を高くして安らかな眠りに就き、毎夜楽しい夢をみることができるわけだ。

　このように、ゲーデルの不完全定理は現実生活にはほとんど影響はない。−ただし、ゲーデルの不確定性原理は、チャーチの定理やチューリングマシンの概念と密接な関連を持ち現代のコンピュータサイエンスの発展に大きな貢献をした。−しかし、学問や思想の世界では大きな影響を与えている。私たちの知識はすべて基本的に演繹的な方法により発見され論証される。だが証明可能性が真であることと完全には合致しないということは、私たちは世界の真実を遍く直接的に知ることはできないことを示唆する。そして、私たちの知識とは、世界そのものを直接的に捉えたものではなく、モデルとして抽象的に把握したものであるということが帰結する。

　この意味で、やはりゲーデルの不完全性定理が世紀の大発見であることに間違いはないのだ。

（補足）ゲーデルの不完全性定理は、チャーチの定理やチューリングマシンの概念と密接な関係を持ち、現代のコンピュータサイエンスの発展に（間接的ではあるが）多大な貢献をなしている。その意味ではゲーデルの功績は専ら学問の世界だけに留まるものではない。

（Ｈ１８／９／１１記）


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